Информация о задаче

Задача 101882

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
Темы:	[	Теорема о сумме квадратов диагоналей	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Через вершины A, B и C параллелограмма ABCD со сторонами AB = 3 и BC = 5 проведена окружность, пересекающая прямую BD в точке E, причём BE = 9. Найдите диагональ BD.

Подсказка

Используя теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма и теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд, составьте систему уравнений относительно диагоналей параллелограмма.

Решение

Пусть диагонали параллелограмма пересекаются в точке O. Обозначим OB = OD = x, AO = OC = y. По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма

AC² + BD² = 2AB² + 2BC².

По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд

BO^.OE = AO^.OC.

Таким образом, получим систему

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} 4x^{2}+4y^{2} = 2\cdot 34\\ x(9-x) = y^{2}x, \\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} 4x^{2}+4y^{2} = 2\cdot 34\\ x(9-x) = y^{2}x, \\ \end{array}$

или

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x^{2}+y^{2} = 17\\ 9x = x^{2}+y^{2}. \\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} x^{2}+y^{2} = 17\\ 9x = x^{2}+y^{2}. \\ \end{array}$

Отсюда находим, что BD = 2x = ${\frac{34}{9}}$ .

Ответ

${\frac{34}{9}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3621