Задача 101903

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Из точки C проведены две касательные к окружности, A и B – точки касания. На окружности взята точка M, отличная от A и B. Из точки M опущены перпендикуляры MN, ME, MD на стороны AB, BC, CA треугольника ABC соответственно. Найдите площадь треугольника MNE, если известны стороны  MN = 4,  MD = 2  и  ∠ACB = 120°.

Подсказка

Треугольники MND и MEN подобны.

Решение

  Точки E и N лежат на окружности с диаметром BM, а точки D и N – на окружности с диаметром AM. Поэтому  ∠MEN = ∠MBN = ∠DAM = ∠DNM.  Аналогично  ∠MNE = ∠MDN.
  Следовательно, треугольники MND и MEN подобны по двум углам. Значит,  MN : MD = ME : MN,  то есть  ME = ^MN²/_MD = 8.
  Поскольку треугольник ACB равнобедренный, то  ∠B = ∠A = 30°. Точка M лежит внутри треугольника ABC (по условию её проекции лежат на сторонах треугольника), поэтому  ∠ EMN = 180° – ∠B = 150.  Следовательно,  S_MNE = ½ ME·MN sin∠EMN = 8.

Ответ

8.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3642