Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дана равнобокая трапеция $ABCD$ ($AB=CD$). На описанной около неё окружности выбирается точка $P$ так, что отрезок $CP$ пересекает основание $AD$ в точке $Q$. Пусть $L$ – середина $QD$. Докажите, что длина диагонали трапеции не превосходит суммы расстояний от середин её боковых сторон до любой точки прямой $PL$.

   Решение

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна c, а один из острых углов равен . В треугольник помещены две окружности одинакового радиуса, каждая из которых касается одного из катетов, гипотенузы и другой окружности. Найдите радиусы этих окружностей.

Подсказка

Выразите гипотенузу через искомый радиус и данный угол.

Решение

Пусть окружности радиусов r с центрами O₁ и O₂ касаются гипотенузы AB соответственно в точках M и N и при этом BAC = . Если окружность с центром O₁ вписана в угол BAC, то AM = O₁MMAO₁ = r. Аналогично находим, что BN = r - . Поскольку c = AB = AM + MN + NB и MN = O₁O₂ = 2r, то имеем уравнение

откуда находим, что r = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования