Задача 102239

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки M и N соответственно, причём BM = BN. Через точку M проведена прямая, перпендикулярная BC, а через точку N — прямая перпендикулярная AB. Эти прямые пересекаются в точке O. Продолжение отрезка BO пересекает сторону AC в точке P и делит её на отрезки AP = 5 и PC = 4. Найдите длину отрезка BP, если известно, что BC = 6.

Подсказка

Докажите, что BP — биссектриса треугольника ABC, примените теорему о биссектрисе треугольника и формулу для квадрата биссектрисы треугольника: BP² = AB ^. BC - AP ^. PC.

Решение

В равнобедренном треугольнике BMN точка O является точкой пересечения высот. Поэтому BP — биссектриса треугольника BMN и треугольника ABC. По теореме о биссектрисе треугольника AB : BC = AP : PC, поэтому

AB = = = .

По формуле для квадрата биссектрисы треугольника

BP² = AB ^. BC - AP ^. PC = ^. 6 - 5 ^. 4 = 25.

Следовательно, BP = 5.

Ответ

5.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3666