Информация о задаче

Задача 102253

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В четырёхугольник ABCD вписана окружность радиуса 2. Угол $\angle$ DAB — прямой. Сторона AB равна 5, сторона BC равна 6. Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

Подсказка

Найдите тригонометрические функции угла $\angle$ ABC; продолжите до пересечения стороны AD и BC.

Решение

Пусть окружность с центром O касается сторон AB, BC, CD и AD данного четырёхугольника соответственно в точках M, N, K и L. Тогда AMOL — квадрат. Поэтому

BN = BM = AB - AM = 5 - 2 = 3, CK = CN = BC - BN = 6 - 3 = 3.

Продолжим стороны AD и BC до пересечения в точке Q. Обозначим $\angle$ OBM = $\angle$ OBN = $\alpha$ , $\angle$ AQB = $\beta$ . Из прямоугольного треугольника OBM находим, что $\tg$ $\alpha$ = ${\frac{OM}{BM}}$ = ${\frac{2}{3}}$ . Тогда

$\displaystyle \tg$ $\displaystyle \angle$ ABQ = $\displaystyle \tg$ 2 $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{2\tg \alpha}{1-\tg^{2} \alpha}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{5}}$ ,

$\displaystyle \tg$ $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle \tg$ $\displaystyle \angle$ AQB = $\displaystyle \ctg$ 2 $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{12}}$ , cos $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{13}}$ ,

AQ = AB $\displaystyle \tg$ 2 $\displaystyle \alpha$ = 5^. $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{5}}$ = 12, QL = AQ - AL = 12 - 2 = 10,

BQ = $\displaystyle {\frac{AQ}{\cos \beta}}$ = 12 : $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{13}}$ = 13, CQ = BQ - BC = 13 - 6 = 7.

Обозначим DK = DL = t. Тогда CD = DK + KC = t + 3, DQ = QL - DL = 10 - t. Применим теорему косинусов к треугольнику CDQ:

CD² = DQ² + CQ² - 2^.DQ^.CQ^.cos $\displaystyle \beta$ ,

или

(t + 3)² = 49 + (10 - t)² - 2^.7(10 - t)^. $\displaystyle {\textstyle\frac{12}{13}}$ .

Из этого уравнения находим, что t = ${\frac{14}{17}}$ . Следовательно,

S_ABCD = $\displaystyle {\frac{AB+BC+CK+KD+DL+AL}{2}}$ ^.OM = $\displaystyle {\frac{5+6+3+\frac{14}{17}+\frac{14}{17}+2}{2}}$ ^.2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{300}{17}}$ = 17 $\displaystyle {\textstyle\frac{11}{17}}$ .

Ответ

17 ${\frac{11}{17}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3680