ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102274
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны две окружности. Первая окружность вписана в треугольник ABC , вторая касается стороны AC и продолжений сторон AB и BC . Известно, что эти окружности касаются друг друга, произведение их радиусов равно 20, а угол BAC равен arccos . Найдите периметр треугольника ABC .

Решение

Пусть первая (вписанная) окружность треугольника ABC касается сторон AB и BC соответственно в точках M и P , вторая (вневписанная) окружность касается продолжений сторон AB и BC соответственно в точках N и Q , а K — точка касания окружностей ( K на стороне AC ). По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки,

BN=BQ, BM=BP, MN = PQ, AM=AK=AN=MN,


CP=CK=CQ = PQ,

поэтому AB=BN-AN=BQ-CQ=BC , т.е. треугольник ABC — равнобедренный. Его медиана BK является высотой.
Пусть r и R — радиусы соответственно первой и второй окружностей. Тогда
AC=MN=PQ = 2=2=4, AK=· AC=2.


Из прямоугольного треугольника BAK находим, что
AB= = =3.

Следовательно,
AB+BC+AC=3+3+4=10.


Ответ

10 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3701

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .