Задача 102274

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Даны две окружности. Первая окружность вписана в треугольник ABC , вторая касается стороны AC и продолжений сторон AB и BC . Известно, что эти окружности касаются друг друга, произведение их радиусов равно 20, а угол BAC равен arccos . Найдите периметр треугольника ABC .

Решение

Пусть первая (вписанная) окружность треугольника ABC касается сторон AB и BC соответственно в точках M и P , вторая (вневписанная) окружность касается продолжений сторон AB и BC соответственно в точках N и Q , а K — точка касания окружностей ( K на стороне AC ). По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки,

BN=BQ, BM=BP, MN = PQ, AM=AK=AN=MN,

CP=CK=CQ = PQ,
поэтому AB=BN-AN=BQ-CQ=BC , т.е. треугольник ABC — равнобедренный. Его медиана BK является высотой.
Пусть r и R — радиусы соответственно первой и второй окружностей. Тогда
AC=MN=PQ = 2=2=4, AK=· AC=2.

Из прямоугольного треугольника BAK находим, что
AB= = =3.
Следовательно,
AB+BC+AC=3+3+4=10.

Ответ

10 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3701