|
|
 |
Условие
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке D. Окружность радиуса 35, центр которой лежит на прямой BC, проходит через точки A и D. Известно, что
AB² – AC² = 216, а площадь треугольника ABC равна 90. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.
Решение
Пусть BC = a, AC = b, AB = c, ∠BAD = ∠CAD = α, ∠ADC = β, а радиус данной окружности равен r. Заметим, что β > α (как внешний угол треугольника ADC). Из условия следует, что c > b, поэтому ∠B < ∠C, или β – α < 180° – α – β, откуда β < 90°. Поскольку центр O окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде AD, то точка O лежит на луче DC. Треугольник AOD – равнобедренный, поэтому ∠OAD = ∠ODA = β, а так как
β > α, то точка C лежит между D и O. Значит, ∠CAO = β – α. Отсюда следует, что треугольники ABO и CAO подобны по двум углам. Значит,
BO : AO = AO : CO, или (1)
Поскольку AD – биссектриса треугольника ABC, то BD = ac/b+c, CD = ab/b+c.
Подставив найденные выражения в равенство (1), получим
(r + ac/b+c)(r – ab/b+c) = r², или r(c² – b²) = abc.
Пусть R – искомый радиус описанной окружности, S = SABC. Тогда .
Ответ
7.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3704 |
