Информация о задаче

Задача 102286

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности радиусов $\sqrt{19}$ и $\sqrt{76}$ , касающиеся друг друга внешним образом, вписаны в полуокружность (т.е. каждая из окружностей касается этой полуокружности и её диаметра). Найдите радиус полуокружности.

Подсказка

Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания. Составьте уравнение относительно искомого радиуса.

Решение

Пусть O, O₁ и O₂ — центры полуокружности и окружностей, радиусы которых обозначим через соответствено R, r₁ и r₂. Пусть A и B — точки касания соответствующих окружностей с диаметром полуокружности, C — проекция точки O₁ на O₂B. Поскольку r₁ = $\sqrt{19}$ , а r₂ = 2 $\sqrt{19}$ , то что r₂ = 2r₁. Обозначим r₁ = r. Тогда r₂ = 2r, O₁O₂ = r₁ + r₂ = 3r, O₂C = 2r - r = r. Из прямоугольного треугольника O₁CO₂ по теореме Пифагора находим, что

O₁C = $\displaystyle \sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{2}C^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{9r^{2}-r^{2}}$ = 2r $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Обозначим AO = x, BO = y. Поскольку OO₁ = R - r и OO₂ = R - 2r, то из прямоугольных треугольников OAO₁ и OBO₂ получаем, что

(R - r)² = r² + x² и (R - 2r)² = 4r² + y²,

откуда x² = (R - r)² - r² и y² = (R - 2r)² - 4r², а т.к. x + y = AB = 2r $\sqrt{2}$ , то получаем уравнение

$\displaystyle \sqrt{R^{2}-2Rr}$ + $\displaystyle \sqrt{R^{2}-4Rr}$ = 2r $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Сделав замену t = ${\frac{R}{r}}$ , получим иррациональное уравнение

$\displaystyle \sqrt{t^{2}-2t}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{2}$ - $\displaystyle \sqrt{t^{2}-4t}$ .

После возведения обеих частей в квадрат получим уравнение 2 $\sqrt{2}$ $\sqrt{t^{2}-4t}$ = 4 - t, откуда следует, что t = 4. Таким образом, R = 4r = 4 $\sqrt{19}$ .

Ответ

4 $\sqrt{19}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3713