Информация о задаче

Задача 102292

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
Темы:	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапецию с основаниями 3 и 5 можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. Вычислите площадь пятиугольника, образованного радиусами вписанной окружности, перпендикулярными боковым сторонам трапеции, её меньшим основанием и соответствующими отрезками боковых сторон.

Подсказка

Поскольку около трапеции можно описать окружность, то трапеция — равнобедренная, а т.к. в трапецию вписана окружность, то боковая сторона видна из центра этой окружности под прямым углом.

Решение

Поскольку около трапеции можно описать окружность, то трапеция — равнобедренная. Пусть окружность с центром O касается боковых сторон AB и CD трапеции ABCD соответственно в точках M и N, а оснований BC = 3 и AD = 5 — соответственно в точках K и L. Тогда

BM = BK = KC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ , AM = AL = LD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AD = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{2}}$ .

Поскольку AO и BO — биссектрисы углов, сумма которых равна 180^o, то $\angle$ AOB = 90^o. Радиус OM — высота прямоугольного треугольника AOB, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

OM = $\displaystyle \sqrt{AM\cdot BM}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}\cdot \frac{5}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{15}}{2}}$ .

Прямоугольный треугольник OKB равен треугольнику OKC, следовательно,

S_MBCN = 2^.S_BOC = 2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.BC^.OK = 3^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{15}}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ $\displaystyle \sqrt{15}$ .

Ответ

${\frac{3}{2}}$ $\sqrt{15}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3719