Информация о задаче

Задача 102294

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
Темы:	[	Касательные прямые и касающиеся окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность, проходящая через вершину A треугольника ABC, касается стороны BC в точке M и пересекает стороны AC и AB соответственно в точках L и K, отличных от вершины A. Найдите отношение AC : AB, если известно, что длина отрезка LC в два раза больше длины отрезка KB, а отношение CM : BM = 3 : 2.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.

Решение

По теореме о касательной и секущей

CM² = CL^.AC и BM² = BK^.AB,

поэтому

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{3}{2}}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{3}{2}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\frac{CM^{2}}{BM^{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{CL\cdot AC}{BK\cdot AB}}$ = $\displaystyle {\frac{CL}{BK}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AC}{AB}}$ = 2^. $\displaystyle {\frac{AC}{AB}}$ .

Следовательно, ${\frac{AC}{AB}}$ = ${\frac{9}{8}}$ .

Ответ

9 : 8.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3721