Информация о задаче

Задача 102331

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известны стороны: BC = AC = 12, AB = 6; AD — биссектриса. Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника ADC. Выясните, что больше: R или 6,5.

Подсказка

Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Воспользуйтесь также теоремой синусов: R = ${\frac{CD}{2\cdot \sin \angle CAD}}$ .

Решение

По теореме о биссектрисе треугольника ${\frac{BD}{CD}}$ = ${\frac{AB}{AC}}$ = ${\frac{1}{2}}$ , откуда находим, что CD = 8. Обозначим $\angle$ CAB = $\alpha$ . Пусть CM — высота треугольника ABC. Поскольку треугольник ABC — равнобедренный, то AM = BM = 3. Из прямоугольного треугольника AMC находим, что

cos $\displaystyle \angle$ CAB = cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{AM}{AC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ .

Тогда

sin $\displaystyle \angle$ ACD = sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Следовательно,

R = $\displaystyle {\frac{CD}{2\cdot \sin \frac{\alpha}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{8}{2\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}}}$ = 8 $\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}$ ,

а т.к. 8 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ > ${\frac{13}{2}}$ , то R > 6, 5.

Ответ

R = 8 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ > 6, 5.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3759