Информация о задаче

Задача 102339

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC даны длины сторон AB = 8, BC = 6 и биссектриса BD = 6. Найдите длину медианы AE.

Подсказка

Через точку D проведите прямую DK, параллельную стороне AB (точка K на стороне BC). Тогда треугольник BKD — равнобедренный.

Решение

Через точку D проведём прямую DK, параллельную стороне AB (точка K на стороне BC). Тогда $\angle$ BDK = $\angle$ ABD = $\angle$ DMK, поэтому треугольник BKD — равнобедренный, BK = DK. По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{CD}{AD}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{AB}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{6}{8}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ .

Треугольник DKC подобен треугольнику ABC с коэффициентом ${\frac{CD}{CA}}$ = ${\frac{3}{7}}$ , поэтому BK = DK = ${\frac{3}{7}}$ ^.AB = ${\frac{3}{7}}$ ^.8 = ${\frac{24}{7}}$ . Обозначим $\angle$ ABC = $\alpha$ . Из равнобедренного треугольника BKD находим, что

cos $\displaystyle \angle$ DBK = cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{1}{2}BD}{BK}}$ = 3 : $\displaystyle {\textstyle\frac{24}{7}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{8}}$ .

Значит,

cos $\displaystyle \angle$ ABC = cos $\displaystyle \alpha$ = 2 cos² $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ - 1 = 2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{49}{64}}$ - 1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{17}{32}}$ .

Следовательно,

AE = $\displaystyle \sqrt{AB^{2}+BE^{2}-2\cdot AB\cdot BE\cdot \cos \alpha}$ = $\displaystyle \sqrt{64+9-2\cdot 8\cdot 3 \cdot \frac{17}{32}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{95}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{190}}{2}}$ .

Ответ

${\frac{\sqrt{190}}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3767