Информация о задаче

Задача 102355

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
	[	Площадь трапеции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобочную трапецию ABCD ( BC $\Vert$ AD) вписана окружность, BC : AD = 1 : 3, площадь трапеции равна ${\frac{\sqrt{3}}{2}}$ . Найдите AB.

Подсказка

Если O — центр окружности, то треугольник AOB — прямоугольный.

Решение

Пусть O — центр окружности радиуса r, вписанной в трапецию, K — точка касания окружности с боковой стороной AB, а M и N — точки касания с основаниями BC и AD соответственно. Обозначим BC = a. Тогда AD = 3a, высота трапеции равна 2r. Значит,

S_ABCD = $\displaystyle {\frac{AD+BC}{2}}$ ^.2r, или $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 2a^.2r = 4ar,

Отсюда находим, что ar = ${\frac{\sqrt{3}}{8}}$ . Заметим, что OK — высота прямоугольного треугольника AOB, проведённая из вершины прямого угла. Поскольку AK = AN = ${\frac{3a}{2}}$ и BK = BM = ${\frac{a}{2}}$ , то

r² = OK² = AK^.BK = $\displaystyle {\frac{3a}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{a}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{3a^{2}}{4}}$ ,

откуда находим, что r = ${\frac{a\sqrt{3}}{2}}$ . Таким образом, имеем систему уравнений

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} ar=\frac{\sqrt{3}}{8}\\ r=\frac{a\sqrt{3}}{2},\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} ar=\frac{\sqrt{3}}{8}\\ r=\frac{a\sqrt{3}}{2},\\ \end{array}$

из которой находим, что a = ${\frac{1}{2}}$ . Следовательно,

AB = $\displaystyle {\frac{3a}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{a}{2}}$ = 2a = 1.

Ответ

1.00

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3783