Задача 102359

Темы:    [ Неравенство треугольника ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точка C делит хорду AB окружности радиуса 6 на отрезки AC = 4 и CB = 5. Найдите минимальное из расстояний от точки C до точек окружности.

Подсказка

Пусть O — центр окружности. Продолжите отрезок OC за точку C до пересечения с окружностью в точке M и, применив неравенство треугольника, докажите, что длина отрезка CM есть наименьшее из расстояний от точки C до точек окружности.

Решение

Пусть O — центр окружности. Продолжим отрезок OC за точку C до пересечения с окружностью в точке M. Докажем, что длина отрезка CM есть наименьшее из расстояний от точки C до точек окружности. Действительно, пусть X — произвольная точка окружности, отличная от M. Тогда

OC + CM = OM = OX < OC + CX,

(неравенство треугольника для треугольника OCX). Откуда следует, что CM < CX, что и требовалось доказать. Продолжим отрезок CO за точку O до пересечения с окружностью в точке N. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд CM ^. CN = AC ^. CB, или CM ^. (12 - CM) = 4 ^. 5. Учитывая условие CM < OM = 6, из полученного уравнения находим, что CM = 2.

Ответ

2.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3787