Информация о задаче

Задача 102367

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известно, что AB = 14, BC = 6, AC = 10. Биссектрисы BD и CE пересекаются в точке O. Найдите OD.

Подсказка

Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Примените эту теорему к треугольникам ABC и BCD.

Решение

По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{CD}{AD}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{AB}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{6}{14}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{7}}$ .

Отсюда следует, что CD = 3. Аналогично находим, что

$\displaystyle {\frac{BO}{OD}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{CD}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{6}{3}}$ = 2.

По теореме косинусов из треугольника ABC находим, что

cos $\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle {\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2\cdot AC\cdot BC}}$ = $\displaystyle {\frac{100+36-196}{2\cdot 10\cdot 6}}$ = - $\displaystyle {\frac{60}{120^{\circ}}}$ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Следовательно, $\angle$ ACB = 120^o. Затем по теореме косинусов из треугольника BCD находим, что

BD² = BC² + CD² - 2^.BC^.CD^.cos 120^o = 36 + 9 + 18 = 63.

Следовательно,

BD = $\displaystyle \sqrt{63}$ = 3 $\displaystyle \sqrt{7}$ , а OD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ BD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ^.3 $\displaystyle \sqrt{7}$ = $\displaystyle \sqrt{7}$ .

Ответ

$\sqrt{7}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3795