Информация о задаче

Задача 102389

Темы:	[	Отношения площадей	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD ( BC $\Vert$ AD) известно, что AD = 3^.BC. Прямая пересекает боковые стороны трапеции в точках M и N, AM : MB = 3 : 5, CN : ND = 2 : 7. Найдите отношение площадей четырёхугольников MBCN и AMND.

Подсказка

Продолжите боковые стороны трапеции до пересечения в точке P. Найдите отношения ${\frac{PM}{PB}}$ , ${\frac{PN}{PC}}$ и выразите площади указанных четырёхугольников через площадь треугольника PBC.

Решение

Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке P. Пусть BC = a, AD = 3a, BM = 5x, AM = 3x, CN = 2y, ND = 7y.

Из подобия треугольников PBC и PAD следует, что BP = ${\frac{1}{3}}$ AP и CP = ${\frac{1}{3}}$ DP. Поэтому

BP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (3x + 5x) = 4x, PC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ CD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (2y + 7y) = $\displaystyle {\frac{9y}{2}}$ .

Тогда

PM = BP + BM = 4x + 5x = 9x, PN = CP + CN = $\displaystyle {\frac{9y}{2}}$ + 2y = $\displaystyle {\frac{13y}{2}}$ .

Обозначим S_PBC = s. Тогда

S_PMN = $\displaystyle {\frac{PM}{PB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{PN}{PC}}$ ^.s = $\displaystyle {\frac{9x}{4x}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\frac{13y}{2}}{\frac{9y}{2}}}$ ^.s = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{4}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{13}{9}}$ ^.s = $\displaystyle {\textstyle\frac{13}{4}}$ s.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому S_PAD = 9s. Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{MBCN}}{S_{AMND}}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta PMN}-S_{\Delta PBC}}{S_{\Delta APD}-S_{\Delta PMN}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{13}{4}s-s}{9s-\frac{13}{4}s}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{9}{4}}{\frac{23}{4}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{23}}$ .

Ответ

${\frac{9}{23}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3809