Задача 102391

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На стороне BC остроугольного треугольника ABC  (AB ≠ AC)  как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M,  AD = a,  MD = b,  H – точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Решение

  Пусть указанная окружность пересекает прямую AC в точке K. Поскольку BK – высота остроугольного треугольника ABC, то точка K лежит на стороне AC. Продолжим высоту AD за точку D до пересечения с окружностью в точке Q. Тогда  DQ = MD = b.  Кроме того,
AK·AC = AM·AQ = (a – b)(a + b) = a² – b².
  Из подобия прямоугольных треугольников AKH и ADC следует, что  AK : AH = AD : AC,  откуда  AK·AC = AH·AD = AH·a.
  Таким образом,  AH = ^a²–b²/_a.

Ответ

a – ^b²/_a.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3811