ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 102403
УсловиеНа прямой взяты три различные точки L, M и N (M между L и N, LNMN). На отрезках LM, MN и LN как на диаметрах построены полуокружности, середины которых — соответственно точки A, B и C. Точка C лежит по одну сторону, а точки A и B — по другую сторону от прямой LN. Найдите отношение площади фигуры, ограниченной этими тремя полуокружностями, к площади треугольника ABC.
ПодсказкаПусть E и F — проекции центров полуокружностей с диаметрами LM = 2r и MN = 2R на касательную к полуокружности с диаметром LN, проведённую через точку C, P — проекция точки B на прямую AE. Тогда площадь треугольника равна разности площадей прямоугольника PEFB и трёх прямоугольных треугольников.
РешениеПусть O1, O2 и O — центры окружностей с диаметрами LM, MN и LN соответственно, r и R — радиусы соответственно первой и второй окружностей. Тогда радиус окружности с центром O равен r + R. Известно, что rR. Предположим, что r < R. Указанная в условии фигура состоит из полуокружностей радиусов r, R и R + r. Если S — её площадь, то
S = r2 + R2 + (r + R)2 = (R2 + rR + r2).
Пусть E и F — проекции точек соответственно O1 и O2 на касательную к полуокружности с центром O, проведённую через точку C. Поскольку точки A и B — середины соответствующих полуокружностей, то точки A, O1 и E лежат на одной прямой и точки B, O2 и F также лежат на одной прямой. Пусть P — проекция точки B на прямую AE. Поскольку O1A = r < R = O2B, то точка A лежит между точками O1 и P, причём O1P = R - r. Заметим, что площадь треугольника ABC равна площади прямоугольника PEFB без площадей трёх прямоугольных треугольников O1PO2, BEO1 и BFO2. Поскольку
CE = OO1 = R, CF = OO2 = r, EF = r + R, BF = 2R + r, AE = 2r + R,
то
SPEFB = EF . FB = (r + R)(2R + r), SAPB = . PB . PA = (R + r)(R - r),
SAEC = . CE . EA = R(2r + R), SBFC = . CF . FB = r(2R + r).
Следовательно,
SABC = (r + R)(2R + r) - ((R + r)(R - r) + R(2r + R) + r(2R + r)) = R2 + rR + r2.
Значит,
= = .
.
Ответ.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|