Информация о задаче

Задача 102409

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC с основанием AB, равным ${\frac{\sqrt{3}}{2}}$ , и высотой CH, опущеной на это основание и равной ${\frac{\sqrt{6}}{3}}$ . Известно, что точка H лежит на AB и AH : HB = 2 : 1. В угол ABC треугольника ABC вписана окружность, центр которой лежит на высоте CH. Найдите радиус этой окружности.

Подсказка

Центр указанной окружности делит высоту CH на отрезки, пропорциональные отрезкам BH и CH.

Решение

Пусть O — центр указанной окружности, r — её радиус. Поскольку центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, то BO — биссектриса треугольника BHC, а т.к. OH $\perp$ AB, то OH — радиус окружности. В этом треугольнике

CH = $\displaystyle {\frac{\sqrt{6}}{3}}$ , BH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ AB = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{6}}$ , BC = $\displaystyle \sqrt{CH^{2}+BH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{6}{9}+\frac{3}{36}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{OH}{OC}}$ = $\displaystyle {\frac{BH}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ .

Следовательно,

r = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ ^.CH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{6}}{3}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{6}}{12}}$ .

Ответ

${\frac{\sqrt{6}}{12}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3831