|
|
 |
Условие
В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB = 8 и CD = 5 биссектриса угла B пересекает биссектрисы углов A и C в точках M и N соответственно, а биссектриса угла D пересекает те же две биссектрисы в точках L и K, причём точка L лежит на основании BC.
а) В каком отношении прямая MK делит сторону AB, а прямая LN – сторону AD?
б) Найдите отношение KL : MN, если LM : KN = 4 : 7.
Подсказка
Треугольники ABL и DCL — равнобедренные, MK || BC || AD, точки M, L, K и N лежат на одной окружности.
Решение
а) Поскольку AL – биссектриса угла BAD, а прямые AD и BC параллельны, то ∠BAL = ∠DAL = ∠BLA, поэтому треугольник ABL – равнобедренный.
Значит, BL = AB = 8 и биссектриса BM этого треугольника является его медианой и высотой. Аналогично CL = D = 5, LK = KD и CK ⊥ DL.
Таким образом, MK – средняя линия треугольника ALD, поэтому прямая MK параллельна основаниям трапеции, а точка E пересечения прямых MK и AB – середина стороны AB.
Пусть прямая LN пересекает прямые AD и MK в точках P и Q соответственно. Тогда AP : PD = MQ : QK = BL : LC = 8 : 5.
б) Отрезок LN виден из точек M и K под прямым углом, значит, точки M и K лежат на окружности с диаметром LN. Поэтому
∠LMQ = ∠LMK = ∠LNK = ∠QNK и треугольники LMQ и KNQ подобны по двум углам. Значит, LQ : QK = LM : KN, откуда LQ = QK·LM/KN = 4/7 QK.
Из подобия треугольников KQL и NQM следует, что
KL/MN = LQ/QM = 4/7 QK/QM = 5/14.
Ответ
а) 1 : 1, 5 : 8; б) 5 : 14.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3852 |
