Информация о задаче

Задача 102435

Темы:	[	Отношения площадей	]
Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC медиана AK пересекает медиану BD в точке L. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь четырёхугольника KCDL равна 5.

Подсказка

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований.

Решение

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому KL = ${\frac{1}{3}}$ AK. Поскольку у треугольников BKL и BKA общая высота, проведённая из вершины B, то

S_BKL = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ S_BKA = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ S_ABC.

Поскольку S_BKL = S_BDC - S_KCDL и S_BDC = ${\frac{1}{2}}$ S_ABC, получаем уравнение

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S_ABC - 5,

откуда находим, что S_ABC = 3^.5 = 15.

Ответ

15.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3858