Задача 102457

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На продолжении стороны BC параллелограмма ABCD за точку C взята точка F. Отрезок AF пересекает диагональ BD в точке E, а сторону CD – в точке G, причём  GF = 3,  а AE на 1 больше EG. Какую часть площади параллелограмма ABCD составляет площадь треугольника ADE?

Подсказка

Рассмотрите две пары подобных отреугольников.

Решение

  Обозначим  AD = BC = a,  EG = x. Тогда  AE = x + 1.
  Из подобия треугольников CGF и DGA следует, что  CF = AD·^FG/_AG = ^3a/_2x+1.
  Значит,  BF = a + ^3a/_2x+1.  Из подобия треугольников FEB и AED следует, что  BF = AD·^FE/_AE = ^a(3x+1)/_x+1.
  Из уравнения  a + ^3a/_2x+1 = ^a(3x+1)/_x+1  находим, что  x = 1.  Поэтому  BF = a + a = 2a.
  Поскольку  BE : ED = BF : AD = 2 : 1,  то  S_ADE = ⅓ S_ABD = ⅙ S_ABCD.

Ответ

⅙.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3880