Информация о задаче

Задача 102465

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В круг радиуса 12 вписан угол величины 120^o так, что центр круга лежит на биссектрисе угла. Укажите площадь части круга, расположенной вне угла.

Подсказка

Треугольник ABC — равнобедренный.

Решение

Пусть угол BAC, равный 120^o, вписан в окружность с центром O, причём биссектриса этого угла проходит через точку O.

При симметрии относительно диаметра AA₁, окружность переходит в себя, а лучи AB и AC переходят друг в друга. Следовательно, точки B и C также переходят друг в друга. Значит, треугольник ABC — равнобедренный.

Пусть S — искомая площадь, S₁ — площадь сектора BOC, содержащего точку A, S₂ —площадь ромба OBAC, состоящего из двух равносторонних треугольников OAB и OAC, R = 12 — радиус окружности. Тогда

S = S₁ - S₂ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle \pi$ R² - R^{2 .}sin 120^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle \pi$ ^.144 - 144^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 48 $\displaystyle \pi$ - 72 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Ответ

48 $\pi$ - 72 $\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3888