ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102465
Темы:    [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В круг радиуса 12 вписан угол величины 120o так, что центр круга лежит на биссектрисе угла. Укажите площадь части круга, расположенной вне угла.


Подсказка

Треугольник ABC — равнобедренный.


Решение

Пусть угол BAC, равный 120o, вписан в окружность с центром O, причём биссектриса этого угла проходит через точку O.

При симметрии относительно диаметра AA1, окружность переходит в себя, а лучи AB и AC переходят друг в друга. Следовательно, точки B и C также переходят друг в друга. Значит, треугольник ABC — равнобедренный.

Пусть S — искомая площадь, S1 — площадь сектора BOC, содержащего точку A, S2 —площадь ромба OBAC, состоящего из двух равносторонних треугольников OAB и OAC, R = 12 — радиус окружности. Тогда

S = S1 - S2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$$\displaystyle \pi$R2 - R2 . sin 120o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$$\displaystyle \pi$ . 144 - 144 . $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = 48$\displaystyle \pi$ - 72$\displaystyle \sqrt{3}$.


Ответ

48$ \pi$ - 72$ \sqrt{3}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3888

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .