Информация о задаче

Задача 102470

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известно, что $\angle$ BAC = $\alpha$ , AC = b. Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках M и N, биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке K. Найдите расстояние от точки K до прямой AC.

Подсказка

Докажите, что $\angle$ AKC = 90^o.

Решение

Пусть $\angle$ ACB = $\gamma$ , $\angle$ ABC = $\beta$ . Из равнобедренного треугольника MBN находим, что

$\displaystyle \angle$ BMN = $\displaystyle \angle$ BNM = 90^o - $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ = 90^o - (90^o - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ ) = $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ .

Поскольку BMK — внешний угол треугольника AMK, то

$\displaystyle \angle$ AKM = $\displaystyle \angle$ BMK - $\displaystyle \angle$ MAK = $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$ .

Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC. Из доказанного следует, что из точек K и C отрезок ON виден под одним и тем же углом ${\frac{\gamma}{2}}$ . Значит, точки K, C, N и O лежат на одной окружности, а т.к. $\angle$ ONC = 90^o, то OC — диаметр этой окружности. Следовательно, $\angle$ AKC = $\angle$ OKC = 90^o.

Таким образом, AC — гипотенуза прямоугольного треугольника AKC, а искомое расстояние равно высоте KH этого треугольника, опущенной на гипотенузу. Следовательно,

KH = AK^.sin $\displaystyle \angle$ CAK = AC^.cos $\displaystyle \angle$ CAK^.sin $\displaystyle \angle$ CAK = b cos $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ ^.sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ b sin $\displaystyle \alpha$ .

Ответ

${\frac{b}{2}}$ sin $\alpha$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3893