Информация о задаче

Задача 102471

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружности радиусов 2 и 3 внешним образом касаются друг друга в точке A. Их общая касательная, проходящая через точку A, пересекает две другие их общие касательные в точках B и C. Найдите BC.

Подсказка

Если O₁ и O₂ — центры данных окружностей, то треугольник O₁BO₂ — прямоугольный.

Решение

Пусть внешняя общая касательная окружностей, содержащая точку B касается окружности радиуса 2 с центром O₁ в точке D, а окружности радиуса 3 с центром O₂ — в точке E. Окружности касаются в точке A, значит, точка A лежит на отрезке O₁O₂.

Поскольку BO₁ и BO₂ — биссектрисы углов ABD и ABE, то $\angle$ O₁BO₂ = 90^o. Поэтому BC — высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла. Значит,

BA = $\displaystyle \sqrt{AO_{1}\cdot AO_{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{2\cdot 3}$ = $\displaystyle \sqrt{6}$ .

Аналогично находим, что AC = $\sqrt{6}$ . Следовательно, BC = 2 $\sqrt{6}$ .

Ответ

2 $\sqrt{6}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3894