Информация о задаче

Задача 102475

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружности радиуса $\sqrt{19}$ проведены хорды AB, CD, EF. Хорды AB и CD пересекаются в точке K, хорды CD и EF пересекаются в точке L, а хорды AB и EF пересекаются в точке M, причем AM = BK, CK = DL, LF = 3, ML = 2. Найдите величину угла CKB, если известно, что он тупой.

Подсказка

Рассмотрите возможные расположения точки M по отношению к точкам E, F и L; примените теорему о равенстве произведений отрезков пересекающихся хорд; докажите, что центр описанной окружности треугольника KLM совпадает с центром данной окружности.

Решение

Обозначим AM = KB = x, CK = DL = y, MK = t, KL = z.

Пусть точка M лежит между E и L (рис.1). Тогда MF = ML + LF = 2 + 3 = 5.

Обозначим EM = a Из теоремы о равенстве произведений отрезков пересекающихся хорд следует, что

5a = x(x + t) = y(y + z) = 3(a + 2).

Отсюда находим, что EM = a = 3 = LF.

Тогда перпендикуляры, опущенные из центра O окружности на хорды AB, CD и EF, проходят через середины сторон треугольника MKL. Значит, точка O — центр окружности, описанной около треугольника KLM.

Пусть H — проекция точки O на EF. Из прямоугольных треугольников OHF и OHL находим, что

OH² = OF² - HF² = 19 - 16 = 3, OL² = OH² + LH² = 3 + 1 = 4.

Следовательно, радиус r описанной окружности треугольника KLM равен 2. Поэтому

sin $\displaystyle \angle$ CKB = sin $\displaystyle \angle$ MKL = $\displaystyle {\frac{ML}{2r}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{4}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ,

а т.к. угол CKB — тупой, то он равен 150^o.

Пусть точка M лежит между F и L (рис.2). Обозначим EL = a. Тогда

MF = LF - LM = 3 - 2 = 1, 3a = y(y + z) = x(x + t) = 1(a + 2), EL = a = 1 = MF.

Далее, рассуждая так же, как в первом случае, получим, что r = 4. Тогда

sin $\displaystyle \angle$ CKB = sin $\displaystyle \angle$ MKL = $\displaystyle {\frac{ML}{2r}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{8}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ ,

а т.к. угол CKB — тупой, то он равен 180^o - arcsin ${\frac{1}{4}}$ .

Заметим, что все остальные возможные случаи расположения точек K, L и M на соответствующих хордах дают те же величины углов.

Ответ

${\frac{5\pi}{6}}$ , $\pi$ - arcsin ${\frac{1}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3898