Задача 102495

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне PR – точка L, причём  NQ = LR.  Точка A пересечения отрезков QL и NR делит отрезок QL в отношении  m : n,  считая от точки Q. Найдите отношение  PN : PR.

Подсказка

Через точку Q проведите прямую, параллельную PR. Если эта прямая пересекается с прямой NR в точке B, то треугольник BAQ подобен треугольнику RAL, а треугольник BNQ – треугольнику PNR.

Решение 1

  Обозначим  NQ = LR = a.
  Через точку Q проведём прямую, параллельную PR. Пусть эта прямая пересекается с прямой NR в точке B. Из подобия треугольников BAQ и RAL следует, что  BQ = LR·^AQ/_AL = ^am/_n.  Из подобия треугольников BNQ и RNP находим, что  PN : PR = NQ : BQ = n : m.

Решение 2

^S_ANQ/_SANP = ^NQ/_NP,   ^S_ANP/_SAPK = ^AN/_AR,   ^S_APK/_SALR = ^PR/_LR,   ^S_ALR/_SARQ = ^AL/_AQ = ⁿ/_m,   ^S_ARQ/_SAQN = ^AR/_AN.   Перемножив эти равенства, получим  1 = ^PR/_NP·ⁿ/_m.

Ответ

n : m.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3918