Задача 102501

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD  BC || AD,  ∠ABC = 90°.  Прямая, перпендикулярная стороне CD, пересекает сторону AB в точке M, а сторону CD – в точке N. Известно также, что  MC = a,  BN = b, а расстояние от точки D до прямой MC равно c. Найдите расстояние от точки A до прямой BN.

Подсказка

Применив метод вспомогательной окружности, докажите подобие треугольников ANB и DMC.

Решение

  Точки B и N лежат на окружности с диаметром MC. Следовательно,  ∠ABN = ∠MBN = ∠MCN = ∠MCD. Аналогично  ∠BAN = ∠MDC.
  Значит, треугольники ANB и DMC подобны по двум углам. Поэтому отношение их соответствующих высот AQ и DP равно отношению оснований, то есть  AQ : DP = BN : MC,  или  AQ : c = b : a.

Ответ

^bc/_a.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3924