Задача 102503

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Их общая касательная касается первой окружности в точке B, а второй в точке C. Прямая, проходящая через точки A и B, пересекает вторую окружность в точке D. Известно, что AB = 5 см, AD = 4 см. Найдите CD.

Подсказка

Докажите, что CA — высота прямоугольного треугольника BCD, проведённая из вершины C прямого угла.

Решение

Пусть общая касательная, проведённая к данным окружностям в точке A пересекает отрезок BC в точке K. Тогда BK = KA = KC. Поэтому BAC = 90^o. Значит, хорда CD второй окружности видна из точки A этой окружности под прямым углом. Следовательно, CD — диаметр второй окружности, а т.к. BC — касательная, то BCD = 90^o.

Таким образом, отрезок AD — проекция катета CD прямоугольного треугольника BCD на гипотенузу BD. Следовательно,

CD² = AD ^. BD = 4 ^. 9 = 36   CD = 6.

Ответ

6.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3926