ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 102511
Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Площадь круга, сектора и сегмента ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В ромб, одна из диагоналей которого равна 10 см, вписан круг радиуса 3 см. Вычислите площадь части ромба, расположенной вне круга. Будет ли эта площадь больше 9 см2 ? (Ответ обосновать.)


Подсказка

Диагонали разбивают ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.


Решение

Пусть вписанная в ромб ABCD окружность с центром O радиуса r = 3 касается стороны AB в точке M, а диагональ AC = 10. Тогда OM — высота прямоугольного треугольника AOB, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому

AM = $\displaystyle \sqrt{AO^{2}-OM^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{25-9}$ = 4, AB = $\displaystyle {\frac{AO^{2}}{AM}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{25}{4}}$.

Тогда

SABCD = 4 . S$\scriptstyle \Delta$AOB = 4 . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . AB . OM = 2 . $\displaystyle {\textstyle\frac{25}{4}}$ . 3 = $\displaystyle {\textstyle\frac{75}{2}}$.

Пусть S1 — площадь круга, S — искомая часть площади ромба. Тогда

S = SABCD - S1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{75}{2}}$ - $\displaystyle \pi$r2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{75}{2}}$ - 9$\displaystyle \pi$.

Поскольку $ \pi$ < 3, 15, то 9$ \pi$ < 28, 35. Следовательно,

$\displaystyle {\textstyle\frac{75}{2}}$ - 9$\displaystyle \pi$ > $\displaystyle {\textstyle\frac{75}{2}}$ - 28, 35 = 37, 5 - 28, 35 = 9, 15 > 9.


Ответ

$ {\frac{75}{2}}$ - 9$ \pi$ > 9.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3934

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .