Информация о задаче

Задача 102515

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Против большей стороны лежит больший угол	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности радиусов r и p (r < p) касаются внешним образом, а также обе касаются внутренним образом окружности радиуса R. Известно, что треугольник с вершинами в центрах окружностей является равнобедренным, а угол между боковыми сторонами больше ${\frac{\pi}{3}}$ . Найдите длину основания этого треугольника.

Подсказка

Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

Решение

Пусть окружность с центром O₁ радиуса r и окружность с центром O₂ радиуса p касаются между собой в точке C, а окружности с центром O радиуса R — в точках A и B соответственно.

Поскольку линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, то O₁O₂ = r + p, OO₁ = R - r, OO₂ = R - p.

Стороны OO₁ = R - r и OO₂ = R - p не могут быть боковыми, т.к. тогда R - r = R - p $\Rightarrow$ r = p, что противоречит условию r < p. Поэтому одной из боковых сторон является сторона O₁O₂ = r + p.

Угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника O₁OO₂ больше 60^o. Значит, углы при основании — меньше 60^o. Поскольку против большего угла треугольника лежит большая сторона, то основание равнобедренного треугольника O₁OO₂ равно наибольшей из величин R - r и R - p, а т.к. r < p, то R - r > R - p. Значит, OO₁ = R - r — наибольшая сторона треугольника O₁OO₂.

Следовательно, основание треугольника равно R - r.

Ответ

R - r.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3938