|
|
 |
Условие
Существуют ли такие две функции f и g, принимающие только целые значения, что для любого целого x выполнены соотношения:
а) f(f(x)) = x, g(g(x)) = x, f(g(x)) > x, g(f(x)) > x?
б) f(f(x)) < x, g(g(x)) < x, f(g(x)) > x, g(f(x)) > x?
Решение
а) f(x) = f(g(g(x))) > g(x). Но точно так же доказывается, что g(x) > f(x). Противоречие.
б) Достаточно задать значения функций только в целых числах: для остальных значений их можно определить произвольно.
Первый способ. Назовём чётные числа "своими", а нечётные – "чужими" для функции f, а для g – всё наоборот. Пусть эти функции каждое своё число x переводят в – |x| – 2, а чужое – в |x| + 1. Заметим, что каждая функция каждое число переводит в своё. Проверим два неравенства, где внутренняя функция – f. Ясно, что |f(x)| > |x|. Поэтому f(f(x)) = – |f(x)| – 2 < – |x| – 2 < x, а g(f(x)) = |f(x)| + 1 > |x| + 1 > x. Оставшиеся два неравенства проверяются аналогично.
Второй способ. Занумеруем все целые числа натуральными (например, так: x1 = 0, x2 = 1, x3 = –1, x4 = 2, x5 = –2 и т.д.). Будем строить значения f(xn), g(xn) по индукции; причём все они будут различны. Обозначим Xn = {x1, ..., xn}, Vn = {f(x1), ..., f(xn), g(x1), ..., g(xn)}.
База. f(x1) и g(x1) – произвольные различные целые числа, отличные от x1.
Шаг индукции. Пусть все элементы Vn уже построены. Если xn+1 ∉ Vn, то в качестве f(xn+1) и g(xn+1) возьмём произвольные различные целые числа, не входящие ни в Xn+1, ни в Vn.
Если же xn+1 ∈ Vn, то xn+1 = f(xi) или xn+1 = g(xi), где i ≤ n. В первом случае в качестве f(xn+1) возьмём целое число, меньшее xi и не входящее в
Xn ∪ Vn, а в качестве g(xn+1) – целое число, большее xi и не входящее в Xn ∪ Vn. Тогда f(f(xi)) < xi, g(f(xi)) > xi. Во втором случае поступим наоборот, обеспечив неравенства g(g(xi)) < xi, f(g(xi)) > xi.
В результате все значения функций будут построены и все неравенства будут выполнены.
Ответ
а) Не существуют; б) существуют.
Замечания
Баллы: 3 + 5
