Задача 103864

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Четность и нечетность ] [ Признаки делимости на 5 и 10 ]

Сложность: 2 Классы: 6,7,8

Условие

Автор: Маркелов С.В.

В книге рекордов Гиннесса написано, что наибольшее известное простое число равно  23021³⁷⁷ – 1.  Не опечатка ли это?

Подсказка

Какая последняя цифра у числа  23021³⁷⁷ – 1?

Решение

Любая степень числа, оканчивающегося цифрой 1, тоже оканчивается цифрой 1. Поэтому разность  23021³⁷⁷ – 1  оканчивается на 0 и, следовательно, не является простым числом.

Ответ

Опечатка.

Замечания

На самом деле наибольшим известным сегодня простым числом является число  2^3021377 – 1.  Простые числа вида  2ⁿ – 1  называют числами Мерсенна (по имени математика XVII века М. Мерсенна, который их исследовал). Ясно, что при составном n число  2ⁿ – 1  составное. Поэтому числа Мерсенна бывают только при простых n. Например,  2² – 1 = 3,  2⁵ – 1 = 31,  2⁷ – 1 = 127,  ...  – простые числа. Однако нельзя утверждать, что каждому простому числу p соответствует простое число  2^p – 1.  Например,  2¹¹ – 1  составное. Поиском чисел Мерсенна занимались многие выдающиеся математики, например, Эйлер доказал, что число  2³¹ – 1  – простое. Конечно или бесконечно множество чисел Мерсенна – вопрос, на который пока нет ответа.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	2001
класс
	1
Класс	7
задача
Номер	1