Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Дана последовательность натуральных чисел a1, a2, ..., an, в которой a1 не делится на 5 и для всякого n an+1 = an + bn, где bn – последняя цифра числа an. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.
На основании AB равнобедренного треугольника ABC выбрана точка D так, что окружность, вписанная в треугольник BCD, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков CA и CD и отрезка AD (вневписанная окружность треугольника ACD). Докажите, что этот радиус равен одной четверти высоты треугольника ABC, опущенной на его боковую сторону.
В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A, B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM, BM, CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой MH.
Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K , внешних углов B и C – в точке L , внешних углов C и D – в точке M , внешних углов D и A – в точке N . Пусть K1 , L1 , M1 , N1 – точки пересечения высот треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K1L1M1N1 – параллелограмм.
Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовём минимальное число ходов в пути короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны 100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трёх отмеченных равны 50?
Кощей Бессмертный похитил Василису-премудрую у Иванушки-дурачка. Когда Иванушка пришёл к Кощею за невестой, то тот предложил Иванушке узнать свою Василису. В темнице, куда приведут Иванушку, будет и Василиса, и Баба Яга, превратившаяся в Василису так, что не отличишь. Иванушке разрешено задать каждой из них один вопрос: "Ты Василиса?". Иванушка знает, что Баба Яга всегда врёт, но Василиса об этом не знает. Сможет ли Иванушка узнать свою невесту?
|
|
 |
Условие
Кощей Бессмертный похитил Василису-премудрую у Иванушки-дурачка. Когда Иванушка пришёл к Кощею за невестой, то тот предложил Иванушке узнать свою Василису. В темнице, куда приведут Иванушку, будет и Василиса, и Баба Яга, превратившаяся в Василису так, что не отличишь. Иванушке разрешено задать каждой из них один вопрос: "Ты Василиса?". Иванушка знает, что Баба Яга всегда врёт, но Василиса об этом не знает. Сможет ли Иванушка узнать свою невесту?
