Задача 109809

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Описанные четырехугольники ] [ Перенос помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K , внешних углов B и C – в точке L , внешних углов C и D – в точке M , внешних углов D и A – в точке N . Пусть K₁ , L₁ , M₁ , N₁ – точки пересечения высот треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K₁L₁M₁N₁ – параллелограмм.

Решение

Обозначим через O центр вписанной окружности четырехугольника ABCD . Поскольку внешняя и внутренняя биссектрисы угла перпендикулярны, OA NK , OB KL . Высота AK₁ треугольника ABK перпендикулярна BK , поэтому AK₁ || OB . Аналогично, BK₁ || OA . Следовательно, AOBK₁ – параллелограмм, и точка K₁ получается из точки A параллельным переносом на вектор = . Таким же образом, точка L₁ получается из точки C параллельным переносом на вектор . Поэтому = .

Также получаем, что = , откуда следует, что K₁L₁M₁N₁ – параллелограмм.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2004
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	04.5.9.2