ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 104101
Темы:    [ Площадь и ортогональная проекция ]
[ Куб ]
[ Свойства сечений ]
[ Правильные многоугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В кубе АВСDА1В1С1D1 площадь ортогональной проекции грани АА1В1В на плоскость, перпендикулярную диагонали АС1, равна 1.
Найдите площадь ортогональной проекции куба на эту плоскость.


Решение

  Первый способ. Выберем плоскость проекции так, чтобы она проходила через центр куба. Сечением куба этой плоскостью является правильный шестиугольник MNKLPQ (рис. слева). Проекцией куба на эту плоскость является шестиугольник A'1B1B'C'D'D'1 (рис. в центре), вершины которого являются центрами правильных треугольников, построенных на сторонах шестиугольника MNKLPQ, поэтому полученный шестиугольник также является правильным, причём вершины A и C1 куба проектируются в его центр. Проекцией грани АА1В1В является параллелограмм A'A'1B'1B'. Его площадь в три раза меньше площади проекции куба.

               

  Второй способ. Грани A1B1C1D1, BCC1B1 и CDD1C1 образуют одинаковый угол с диагональю AC1 (рис. слева), поэтому они образуют равные углы и с плоскостью, перпендикулярной этой диагонали. Тогда проекции этих граней на плоскость, перпендикулярную диагонали AC1, равны. Таким образом, проекция куба выглядит так, как показано на рисунке справа, следовательно, её площадь равна 3.


Ответ

3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата 2006
класс
Класс 10
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .