Задача 105110

Темы:    [ Многочлены (прочее) ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Сендеров В.А.

Приведите пример многочлена P(x) степени 2001, для которого  P(x) + P(1 – x) ≡ 1.

Решение

Например,  P(x) = (x – ½)²⁰⁰¹ + ½.  График этой функции получается из графика нечётной функции  y = x²⁰⁰¹  сдвигом вправо на ½ и вверх на ½ и поэтому имеет центр симметрии  M(½, ½).  Теперь легко понять, что  P(1 – x) = 1 – P(x).

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	64
Год	2001
вариант
Класс	10
задача
Номер	3
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2000/2001
Номер	22
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	1