Условие
В круге провели несколько (конечное число) различных хорд так, что каждая из них проходит через середину какой – либо другой из проведённых хорд. Докажите, что все эти хорды являются диаметрами круга.
Решение
Заметим, что чем меньше расстояние от центра O окружности до хорды, тем больше длина хорды. Так как хорд конечное число, то среди них есть наименьшая по длине, скажем, AB. По условию, она проходит через середину K некоторой другой хорды, скажем, CD. Если точка пересечения AB и CD не является также и серединой AB, то расстояние от точки O до CD будет, очевидно, больше, чем расстояние от O до AB (т. к. OK будет больше длины перпендикуляра, опущенного из точки O на AB), следовательно, хорда CD имеет меньшую, чем AB, длину — противоречие. Значит, CD проходит через середину AB, откуда перпендикуляры, опущенные из точки O на эти хорды, совпадают. Это возможно, только если AB и CD совпадают, или если AB и CD пересекаются в центре. Первое невозможно, значит AB и CD — диаметры. Точно также доказывается, что все остальные хорды проходят через O.
 |
| Рис. 1 |
Источники и прецеденты использования
