Задача 107726

Темы:    [ Перегруппировка площадей ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Площадь трапеции ]

Сложность: ? Классы: 8,9

Условие

Дан квадрат со стороной 1. Каждая его сторона разбита на три равные части. Через точки деления проведены отрезки (см. рис. 1). Найдите площадь заштрихованного квадратика.

Рис. 1

Решение

Обозначим длину стороны заштрихованного квадратика через х. Заметим, что все наклонные отрезки имеют длины х, 2х/3 и х/3, это следует из теоремы Фалеса. Тогда, сложив вместе трапецию со сторонами х, х, 2х/3, 1/3 и треугольник со сторонами х, 1/3, х/3, мы получим квадратик, равный заштрихованному. Аналогично можно сложить квадратик из двух трапеций со сторонами х, х/3, 1/3, 2х/3. Всего получится 10 одинаковых квадратиков суммарной площади 1. Значит, площадь каждого квадратика равна 1/10. Можно решить задачу, используя теорему Пифагора, запишем её для самого маленького на рисунке треугольника:
х² + (х/3)² = (1/3)². Решение уравнения х = 1/.

Ответ

Площадь равна 1/10.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Название	конкурс по математике
Год	2002
Задача
Номер	5