Задача 107763

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Шарыгин И.Ф.

D – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.

Решение

  Обозначим точки касания, как показано на рисунке.

  Заметим, что  AB₁ = AP,  AC₁ = AQ,  KM = KP,  KN = KQ.  Кроме того,  MN = EF  – отрезки общих касательных к окружностям. Поэтому
    2AK = (AP – KP) + (AQ – KQ) = AP + AQ – MN = AB₁ + AC₁ – EF = AB – BB₁ + AC – CC₁ – (BC – BE – CF) = AB + AC – BC.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4278
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	57
Год	1994
вариант
Класс	10
задача
Номер	4
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	15
Дата	1993/1994
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	4