ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107798
Темы:    [ Взвешивания ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По кругу расставлены 10 железных гирек. Между каждыми соседними гирьками находится бронзовый шарик. Масса каждого шарика равна разности масс соседних с ним гирек. Докажите, что шарики можно разложить на две чаши весов так, чтобы весы уравновесились.

Решение

  Обозначим массы гирек через mi, а массы шариков — через xi. Имеем

(m1 - m2) + (m2 - m3) + ... + (m9 - m10) + (m10 - m1) = 0.

Действительно, каждое mi входит в эту сумму два раза: один раз со знаком "+", а второй раз — со знаком "-". Поэтому все mi сократятся.

Заметим, что каждая из величин в скобках (mi - mi + 1) по модулю равна массе i-го шарика. Значит, это равенство можно переписать так:

±x1±x2±...±x9±x10 = 0,

где перед некоторыми xi стоит знак "+", а перед остальными — "-". Положим все шарики xi, перед которыми стоят знаки "+" на левую чашу весов, а остальные — на правую. Ясно, что весы будут в равновесии.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 59
Год 1996
вариант
Класс 8
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .