|
|
 |
Условие
В углу шахматной доски размером n×n полей стоит ладья. При каких n, чередуя горизонтальные и вертикальные ходы, она может за n² ходов побывать на всех полях доски и вернуться на место? (Учитываются только поля, на которых ладья останавливалась, а не те, над которыми она проносилась во время хода.)
Решение
Путь ладьи при чётном n изображён на рисунке. Ладья сначала побывает во всех клетках первых двух горизонталей, потом – во всех клетках 3-й и 4-й горизонтали и т. д.
Покажем, что при нечётном n такое невозможно. Действительно, рассмотрим любую горизонталь, отличную от первой. Когда ладья попадает на эту горизонталь, ей нужно следующим ходом перейти на другую клетку этой же горизонтали, а потом обязательно уйти на другую горизонталь (поскольку ладья должна сделать всего n² ходов, она может побывать на каждой клетке не более одного раза). Значит, клетки выбранной горизонтали делятся на пары. Поэтому в горизонтали должно быть чётное число клеток.
