Задача 107814

Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Простые числа и их свойства ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Сендеров В.А.

Докажите, что для любого многочлена P(x) степени n с натуральными коэффициентами найдется такое целое число k, что числа  P(k),  P(k + 1),  ...,
P(k + 1996)  будут составными, если
  а)  n = 1;
  б)  n – произвольное натуральное число.

Решение

  Поскольку коэффициенты – натуральные числа)  P(n) > P(m)  при  n > m > 0.  Кроме того,  P(n) > 1  при  n > 0.
  Положим  a = P(1)P(2)...P(1996).  По теореме Безу для целочисленных многочленов (см. решение задачи 35562)  P(a + k) – P(k)  делится на a, а a – на P(k) при  k = 1, ..., 1996.  Значит,  P(a + k)  делится на P(k). Поскольку  P(k) > 1  и  P(a + k) > P(k),  то  P(a + k)  – составное число.

Замечания

Ср. с задачей М1549 из Задачника "Кванта".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	59
Год	1996
вариант
Класс	10
задача
Номер	6