|
|
 |
Условие
2n шахматистов дважды провели круговой турнир (за победу начисляется одно очко, за ничью – ½, за поражение – 0).
Докажите, что если сумма очков каждого изменилась не менее чем на n, то она изменилась ровно на n.
Решение
Разделим участников турнира на две группы. В группу A зачислим шахматистов, набравших во втором турнире больше очков, чем в первом, а в группу B – оставшихся (набравших во втором турнире меньше очков, чем в первом). Пусть общая сумма всех очков шахматистов группы A увеличилась на D. Тогда общая сумма всех очков шахматистов группы B уменьшилась на D. По условию сумма 2D модулей всех изменений не меньше 2n².
Заметим, что изменение результата партии между шахматистами одной группы не влияет на сумму 2D, а изменение результата партии между двумя шахматистами разных групп вносит в эту сумму не более 2 очков (если в первом турнире выиграл шахматист из B, а во втором – из A). Если группа A состоит из m шахматистов, то в турнире играется всего
m(2n – m) ≤ n² "межгрупповых" партий, поэтому 2D ≤ 2n². Следовательно, 2D = 2n², и каждый из 2n шахматистов "внес" в сумму 2D ровно n очков.
Замечания
1. Из решения видно, что условие может выполняться лишь в следующем случае: спортсмены разбились на две группы по n человек, причём в первом турнире все игроки первой группы выиграли у всех игроков второй группы, а во втором турнире все игроки второй группы выиграли у всех игроков первой.
2. 5 баллов
