|
|
 |
Условие
Положительные числа a, b и c таковы, что abc = 1. Докажите неравенство
Решение 1
Обозначим a = x³, b = y³, c = z³. Тогда xyz = 1. Поскольку x² – xy + y² ≥ xy, имеем x³ + y³ ≥ (x + y)xy, откуда
Решение 2
После приведения к общему знаменателю и раскрытия скобок (с учётом того, что abc = 1) неравенство принимает вид
Первый способ. Запишем неравенство (*) в виде: (ab + ac + bc)(a + b + c) – 3abc ≥ 2(a + b + c). Поделив на a + b + c и заменив abc на 1, приведём его к виду:
Полученное неравенство очевидно, так как согласно неравенству Коши
Второй способ. Рассмотрим выражение , как среднее арифметическое 18 чисел (одночлены с коэффициентом 7 рассматриваются как сумма 7 равных слагаемых). Применив неравенство Коши, получим
Третий способ. Умножив очевидное неравенство b2 + 1 ≥ 2b (**) на a, получим ab2 + a ≥ 2ab. (1)
Умножив (**) на c/b и заменив 1/b на ac, получим ac2 + bc ≥ 2c. (2)
Аналогично a²c + ab ≥ 2a, (3)
b²c + ab ≥ 2b. (4)
Можно считать, что числа расположены в порядке возрастания: a ≤ b ≤ c. Тогда a ≤ 1 ≤ c и (c – 1)(c – a²) ≥ 0. Раскрыв скобки, получим
a² + c² ≥ a²c + c. Умножая на b и заменяя abc на 1, получим, наконец, неравенство a²b + bc² ≥ bc + a. (5)
Складывая неравенства (1) – (5), получим неравенство (*).
Замечания
1. См. также также Задачник Кванта, решение задачи М1597 б).
2. 8 баллов.
