Задача 107861

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Поворот (прочее) ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Шень А.Х.

На пол положили правильный треугольник ABC, выпиленный из фанеры. В пол вбили три гвоздя (по одному вплотную к каждой стороне треугольника) так, что треугольник невозможно повернуть, не отрывая от пола. Первый гвоздь делит сторону AB в отношении 1 : 3, считая от вершины A, второй делит сторону BC в отношении 2 : 1, считая от вершины B. В каком отношении делит сторону AC третий гвоздь?

Решение

  1^o. Решим сначала "задачу одного гвоздя". Пусть вбит один гвоздь, касающийся треугольника в точке M на стороне AC. Фиксируем центр предполагаемого вращения (точка O). Можно ли повернуть треугольник вокруг точки О на небольшой угол, и если да, то в какую сторону?

Пусть треугольник расположен как на рисунке. Проведем перпендикуляр к прямой AC в точке M. Он разобьет плоскость на две полуплоскости. Если точка O

лежит в той же полуплоскости, что и C, то вокруг точки O можно повернуть треугольник против часовой стрелки, а если в другой полуплоскости, то — по часовой стрелке.

Пусть точка O лежит на перпендикуляре. Тогда, если точки O и B лежат по одну сторону от прямой AC (а это всегда выполняется, если точка O лежит внутри треугольника), то треугольник нельзя повернуть ни в какую сторону. Если же точки O и B лежат по разные стороны от прямой AC, то треугольник можно повернуть в любую сторону.

2^o. Вернемся к задаче трех гвоздей. Проведем три соответствующих перпендикуляра. Докажем, что если они не пересекаются в одной точке, то треугольник можно повернуть. Действительно, перпендикуляры разбили плоскость на семь областей. Сопоставим каждой области строку из трех символов типа + или -. Первый плюс означает, что гвоздь на стороне AB не препятствует вращению треугольника вокруг точек этой области против часовой стрелки

и т. д. (рис.). Разным областям не могут соответствовать одинаковые строки. Всех возможных строк восемь. Поэтому наверняка встретится или строка + + +, или строка - - -. В первом случае можно повернуть треугольник против часовой стрелки, во втором — по.

3^o. Пусть перпендикуляры пересекаются в одной точке. Тогда если точка не лежит ни на одном из перпендикуляров, то в соответствующей строке будет хотя бы один + (запрещающий вращение по часовой стрелке) и хотя бы один - (запрещающий вращение против часовой стрелки).

Если точка лежит на перпендикуляре к одному из гвоздей, причем внутри треугольника, то, как показано выше,

этот гвоздь препятствует вращению треугольника в любую сторону. Наконец, если точка лежит на перпендикуляре вне треугольника, то, как нетрудно видеть, два оставшихся гвоздя препятствуют вращению треугольника.

4^o. Итак, осталось выяснить, где нужно вбить третий гвоздь, чтобы перпендикуляры к гвоздям пересекались в одной точке. Точки, где вбиты гвозди на сторонах AB, BC и AC, обозначим соответственно через D, E и F (рис.). Пусть перпендикуляр к AB в точке D пересекает AC в точке K, перпендикуляр к BC в точке E пересекает AC в точке H, и эти перпендикуляры пересекаются в точке R. Тогда AK = = и CH = = AC. Треугольник HRK равнобедренный, поскольку углы HKR и KHR равны 30^o. Из этого получаем, что HF = FK и F делит сторону AC в отношении 5 : 7, считая от вершины A.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	61
Год	1998
вариант
Класс	10
задача
Номер	5