ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107861
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Поворот (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Шень А.Х.

На пол положили правильный треугольник ABC, выпиленный из фанеры. В пол вбили три гвоздя (по одному вплотную к каждой стороне треугольника) так, что треугольник невозможно повернуть, не отрывая от пола. Первый гвоздь делит сторону AB в отношении 1 : 3, считая от вершины A, второй делит сторону BC в отношении 2 : 1, считая от вершины B. В каком отношении делит сторону AC третий гвоздь?

Решение

  1o. Решим сначала "задачу одного гвоздя". Пусть вбит один гвоздь, касающийся треугольника в точке M на стороне AC. Фиксируем центр предполагаемого вращения (точка O). Можно ли повернуть треугольник вокруг точки О на небольшой угол, и если да, то в какую сторону?

Пусть треугольник расположен как на рисунке. Проведем перпендикуляр к прямой AC в точке M. Он разобьет плоскость на две полуплоскости. Если точка O

\epsfbox{1998/pictures-7.mps}

лежит в той же полуплоскости, что и C, то вокруг точки O можно повернуть треугольник против часовой стрелки, а если в другой полуплоскости, то — по часовой стрелке.

Пусть точка O лежит на перпендикуляре. Тогда, если точки O и B лежат по одну сторону от прямой AC (а это всегда выполняется, если точка O лежит внутри треугольника), то треугольник нельзя повернуть ни в какую сторону. Если же точки O и B лежат по разные стороны от прямой AC, то треугольник можно повернуть в любую сторону.

2o. Вернемся к задаче трех гвоздей. Проведем три соответствующих перпендикуляра. Докажем, что если они не пересекаются в одной точке, то треугольник можно повернуть. Действительно, перпендикуляры разбили плоскость на семь областей. Сопоставим каждой области строку из трех символов типа + или -. Первый плюс означает, что гвоздь на стороне AB не препятствует вращению треугольника вокруг точек этой области против часовой стрелки

\epsfbox{1998/pictures-8.mps}

и т. д. (рис.). Разным областям не могут соответствовать одинаковые строки. Всех возможных строк восемь. Поэтому наверняка встретится или строка + + +, или строка - - -. В первом случае можно повернуть треугольник против часовой стрелки, во втором — по.

3o. Пусть перпендикуляры пересекаются в одной точке. Тогда если точка не лежит ни на одном из перпендикуляров, то в соответствующей строке будет хотя бы один + (запрещающий вращение по часовой стрелке) и хотя бы один - (запрещающий вращение против часовой стрелки).

Если точка лежит на перпендикуляре к одному из гвоздей, причем внутри треугольника, то, как показано выше,

\epsfbox{1998/pictures-9.mps}

этот гвоздь препятствует вращению треугольника в любую сторону. Наконец, если точка лежит на перпендикуляре вне треугольника, то, как нетрудно видеть, два оставшихся гвоздя препятствуют вращению треугольника.

4o. Итак, осталось выяснить, где нужно вбить третий гвоздь, чтобы перпендикуляры к гвоздям пересекались в одной точке. Точки, где вбиты гвозди на сторонах AB, BC и AC, обозначим соответственно через D, E и F (рис.). Пусть перпендикуляр к AB в точке D пересекает AC в точке K, перпендикуляр к BC в точке E пересекает AC в точке H, и эти перпендикуляры пересекаются в точке R. Тогда AK = $ {\frac{AD}{\cos60^\circ}}$ = $ {\frac{AC}{2}}$ и CH = $ {\frac{CE}{\cos60^\circ}}$ = $ {\frac{2}{3}}$AC. Треугольник HRK равнобедренный, поскольку углы HKR и KHR равны 30o. Из этого получаем, что HF = FK и F делит сторону AC в отношении 5 : 7, считая от вершины A.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 61
Год 1998
вариант
Класс 10
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .