|
|
 |
Условие
а) Известно, что область определения функции f(x) – отрезок [–1, 1] и f(f(x)) = – x при всех x, а её график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график такой функции f(x).
б) Можно ли это сделать, если область определения функции – интервал (–1, 1)? Вся числовая ось?
Решение
а) См. задачу 98182.
б) Допустим, что существует такая функция f, определённая на интервале (–1, 1) (случай функции, определённой на всей числовой оси, аналогичен).
1) Пусть (x, y) – точка на графике. Тогда y = f(x), а f(y) = – x. Поэтому точка (y, – x) тоже лежит на графике. Но эта точка получается из точки (x, y) поворотом
на 90° по часовой стрелке. Значит, график переходит в себя при
таком повороте. Следовательно, он переходит в себя и при поворотах на 180° и
270°.
2) Если f(0) = y ≠ 0, то точка (0, y) лежит на графике. Тогда и точка (0, – y), которая получается из нее поворотом на 180°, лежит на
графике, что противоречит определению функции. Значит, f(0) = 0.
Пусть x ≠ 0, а f(x) = 0. Тогда точка (x, 0) лежит на графике. Поворачивая
эту точку на 90° и 270°, приходим к противоречию. Следовательно, f(x) ≠ 0 при x ≠ 0.
3) По условию, график есть объединение конечного числа точек и
интервалов, значит, часть графика, расположенную в первом квадранте, можно представить в виде: I1 ∪ I2 ∪ ... ∪ In ∪ P1 ∪ P2 ∪ ... ∪ Pm. При этом можно считать, что разные интервалы Ik не пересекаются, а точки Pl различны и не принадлежат интервалам Ik. Заметим также, что в силу 2) ни один из интервалов, составляющих график функции, не пересекает оси координат.
Пусть Jk – интервал, который получается из Ik поворотом на 90° по часовой стрелке. По доказанному все эти интервалы лежат на графике, причём в четвёртом квадранте. Далее, пусть Ql – точка, получающаяся из Pl поворотом на 90° по часовой стрелке. Нетрудно видеть, что интервалы Jk и точки Ql составляют пересечение
графика с четвёртым квадрантом.
Итак, часть графика, расположенная в правой полуплоскости, представляет собой объединение интервалов Ik, Jk и точек Pl, Ql
(k = 1, ..., n, l = 1, ..., m). Значит, проекции этих интервалов и точек на ось абсцисс разбивают интервал (0, 1) на 2n интервалов и 2m точек. Но интервал нельзя разбить на чётное число интервалов чётным числом точек! Противоречие.
Ответ
б) Нельзя.
