Задача 108001
|
|
 |
Условие
Внутри квадрата ABCD взята точка M. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABM, BCM, CDM и DAM образуют квадрат.
Подсказка
Примените гомотетию.
Решение
Пусть K, L, P и N – середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Тогда KLMN – квадрат. Поскольку точка пересечения медиан делит каждую медиану треугольника в отношении 2 : 1, считая от вершины, то при гомотетии с центром M и коэффициентом ⅔ четырёхугольник KLMN переходит в четырёхугольник с вершинами в точках пересечения медиан треугольников ABM, BCM, CDM и DAM. Значит, последний четырёхугольник также является квадратом.
Замечания
4 балла
