Задача 108004

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что три прямые, проведённые через середины сторон треугольника параллельно биссектрисам противолежащих углов, пересекаются в одной точке.

Подсказка

Рассмотрите гомотетию данного треугольника с центром в точке пересечения его медиан и коэффициентом –½.

Решение 1

Легко видеть, что указанные прямые являются биссектрисами треугольника A'B'C' с вершинами в серединах сторон треугольника ABC.

Решение 2

При гомотетии с центром в точке M пересечения медиан треугольника ABC и коэффициентом –½ прямые, содержащие биссектрисы треугольника ABC, переходят в параллельные им прямые, проходящие через середины сторон треугольника ABC. Поскольку биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то их образы при рассматриваемой гомотетии также пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4283