Задача 108005

Темы:    [ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))

Подсказка

Примените теорему Чевы.

Решение

Рассмотрим треугольник ABC . Обозначим BC=a , AC=b , AB=a . Пусть A' , B' , C' – точки касания вневписанных окружностей треугольника со сторонами BC , AC , AB соответственно, K – точка касания первой из этих окружностей с продолжением стороны AB , p – полупериметр треугольника. Тогда

BA'=BK = AK - AB = p-c.
Аналогично
A'C=p-b, CB'=p-a, B'A = p-c, AC'=p-b, C'B=p-a.
Поэтому
· · = · · =1.
Следовательно, по теореме Чевы отрезки AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4284
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	8
Название	Теорема Чевы
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.071.1