Задача 108005
|
|
 |
Условие
Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке (точка Нагеля).Подсказка
Примените теорему Чевы.
Решение
Рассмотрим треугольник $ABC$. Обозначим $BC=a$, $AC=b$, $AB=a$. Пусть $A'$, $B'$, $C'$ – точки касания вневписанных окружностей треугольника со сторонами $BC$, $AC$, $AB$ соответственно, $K$ – точка касания первой из этих окружностей с продолжением стороны $AB$, $p$ – полупериметр треугольника. Тогда $$BA'=BK = AK - AB = p-c.$$ Аналогично $$A'C=p-b, CB'=p-a, B'A = p-c, AC'=p-b, C'B=p-a.$$ Поэтому $$ \frac{AC'}{C'B} \cdot \frac{BA'}{A'C} \cdot \frac{CB'}{B'A} = \frac{p-b}{p-a} \cdot \frac{p-c}{p-b} \cdot \frac{p-a}{p-c} = 1.$$ Следовательно, по теореме Чевы отрезки $AA'$, $BB'$ и $CC'$ пересекаются в одной точке.Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4284 |
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 5 |
| Название | Треугольники |
| параграф | |
| Номер | 8 |
| Название | Теорема Чевы |
| Тема | Теоремы Чевы и Менелая |
| задача | |
| Номер | 05.071.1 |
